Question

若a为大于零的常数，求函数f（x）=（a+sinx）（a+cosx）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：

分析：将函数f（x）=（a+sinx）（a+cosx）展开，再进行三角换元即可．

解答： 解：f（x）=（a+sinx）（a+cosx）=a²+a（sinx+cosx）+sinxcosx
令sinx+cosx=t，则sinxcosx=

t2-1

2

，t∈[-

2

，+

2

]，所以原函数化为y=

1

2

（t-a）²+

a2-1

2

，t∈[-

2

，

2

]
∴t=a是对称轴，对a进行分类讨论：
①当a∈（0，

2

）时，函数值域为[y（a），y（-

2

）]，即y∈（

a2-1

2

，a2+

2

a+

1

2

）
②当a∈[

2

，+∞）时，函数在[-

2

，

2

]上单调递减，故值域为[y（

2

），y（-

2

）]，即y∈（a2-

2

a+

1

2

，a2+

2

a+

1

2

）．

点评：本题考查含有字母的函数值域的求法，要注意字母的范围以及变量的取值范围，属于中档题．