Question

已知函数f（x）=（x-a）²+（

2

x

-a）²-a²+2（x＞0，a∈R），若函数f（x）有四个不同的零点，则a的取值范围是（　　）

• A、-3

  2

  ＜a＜3

  2

• B、a＞3

  2

• C、2

  2

  ＜a＜3

  2

• D、a＞2

  2

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：将函数f（x）进行整理，利用换元法转化为二次函数的零点问题，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=（x-a）²+（

2

x

-a）²+2-a²（x＞0），
∴f（x）=（x+

2

x

）²-2a（x+

2

x

）+2-a²，
令t=x+

2

x

≥2

2

，
则g（t）=t²-2at+a²-2=0在（2

2

，+∞）有两个不同的根，
即

g(2 2 )＞0 a＞2 2 △＞0

，解得a＞3

2

，
故选：B．

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用换元法将函数转化为二次函数问题是解决本题的关键．