Question

如图，已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，以椭圆C的上顶点Q为圆心作圆Q：x²+（y-2）²=r²（r＞0），设圆Q与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求

QM

•

QN

的最小值，并求此时圆Q的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与y轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR•OS为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 1 2 a=2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）由题意设M（x₁，y₁），N（-x₁，y₁），Q（0，2），

QM

=(x1，y1-2)，

QN

=(-x1，y1-2)，由此能求出y1=

8

7

时，

QM

•

QN

的最小值是

9

7

，圆Q的方程为：x2+(y-2)2=

135

49

．
（3）设P（x₀，y₀），MP：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

（x-x₀），求出R（0，

y0x1-x0y1

x0-x1

），同理，S（0，

-y0x1-x0y1

x0+x1

），由此能证明OR•OS=|

x02y12-x12y02

x02-x12

|=4为定值．

解答： （1）解：∵椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，
以椭圆C的上顶点Q为圆心作圆Q：x²+（y-2）²=r²（r＞0），
∴

c a = 1 2 a=2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

3

+

y2

4

=1．
（2）解：由题意设M（x₁，y₁），N（-x₁，y₁），Q（0，2），

QM

=(x1，y1-2)，

QN

=(-x1，y1-2)，
∴

QM

•

QN

=-x12+(y1-2)2=

7

4

y12-4y1+1=

7

4

(y1-

8

7

)2-

9

7

，
∴y1=

8

7

时，

QM

•

QN

的最小值是

9

7

，
x₁=±

3 11

7

，r2=

99

49

+

36

49

=

135

49

，
∴圆Q的方程为：x2+(y-2)2=

135

49

．
（3）证明：设P（x₀，y₀），MP：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

（x-x₀），
令x=0，y=

y0x1-x0y1

x0-x1

，R（0，

y0x1-x0y1

x0-x1

），
同理，S（0，

-y0x1-x0y1

x0+x1

），
∴OR•OS=|

x02y12-x12y02

x02-x12

|，
又

y02

4

+

x02

3

=1，

y12

4

+

x12

3

=1，
∴OR•OS=|

x02y12-x12y02

x02-x12

|=4为定值．

点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查

QM

•

QN

的最小值和此时圆Q的方程的求法，考查OR•OS为定值的证明，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．