Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PB=PD，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）若PB=BC=2，二面角P-BD-C的大小为60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结DE，AC，BD，交于点O，连结OE，由已知得OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．
（2）连结PO，∠POC是二面角P-BD-C的平面角，∠POC=60°，过P作PF⊥平面ABCD，交OC于F，PF=PO•sin60°=

2

×

3

2

=

6

2

，S_{正方形ABCD}=2×2=4，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （1）证明：连结DE，AC，BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD的是正方形，∴O是AC中点，
∵E为PA的中点，∴OE∥PC，
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）解：连结PO，
由已知得PO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠POC是二面角P-BD-C的平面角，故∠POC=60°，
∴PO=OC=PC=

2

，
过P作PF⊥平面ABCD，交OC于F，
PF=PO•sin60°=

2

×

3

2

=

6

2

，
S_{正方形ABCD}=2×2=4，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×S正方形ABCD×PF=

1

3

×4×

6

2

=

2 6

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．