Question

1．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r米圆心角为θ（弧度）的扇形景观水池，其中O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元．
（1）当r和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出水池最大面积是多少．

Answer 1

分析 （1）求出扇形的面积，得到关于θ，r的不等式，利用基本不等式求出广场面积的最大值；
（2）根据θ与r的关系式求出r的取值范围，利用二次函数计算水池面积S的最大值．

解答 解：（1）由题意，扇形的弧长AB为l=θr，
扇形的面积为$S=\frac{1}{2}θ{r^2}$，
由题意$400×\frac{1}{2}θ{r^2}+1000（2r+θr）≤24×{10^4}$；
化简得θr²+5（2r+θr）≤1200（*）；
又$θr+2r≥2\sqrt{2θ{r^2}}$，
所以θr²+10$\sqrt{2{θr}^{2}}$≤1200；
设$t=\sqrt{2θ{r^2}}$，t＞0，
则$\frac{{t}^{2}}{2}$+10t≤1200，
解得-60≤t≤40，
所以当θr=2r=40时，面积$S=\frac{1}{2}θ{r^2}$的最大值为400；
（2）由题意，θr+2r=105，
解得θ=$\frac{105}{r}$-2＜2π；
把θr=105-2r代入（*）可得（105-2r）r+5×105≤1200，
化简得2r²-105r+675≥0，
解得r≤$\frac{15}{2}$或r≥45，
又S=$\frac{1}{2}$θr²
=$\frac{1}{2}$（105-2r）r
=-r²+$\frac{105}{2}$r
=-${（r-\frac{105}{4}）}^{2}$+$\frac{{105}^{2}}{16}$，
当r≤$\frac{15}{2}$时，θ=$\frac{105}{r}$-2≥$\frac{105}{\frac{15}{2}}$-2=12＞2π，
与θ＜2π不符，
所以S（θ）在[45，+∞）上单调减，
当r=45时，S取得最大值为337.5平方米，
此时$θ=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了配方法的运用以及最值的计算问题，是综合题．