Question

已知直线l过点A（-

3p

2

，p），且与抛物线y²=2px只有一个公共点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据直线与抛物线的位置关系，联立方程组，运用判别式等于零，注意与抛物线对称轴平行的直线，二次方程的二次系数为零的情况．

解答： 解：直线l过点A（-

3p

2

，p），且与抛物线y²=2px只有一个公共点，
直线l的斜率不存在时，直线与抛物线没有公共点，
设l的斜率为k，则直线l的方程为y-p=k（x+

3p

2

），
联立方程组：

y-p=k(x+ 3p 2 ) y2=2px

，
化简得：k²x²+（3k²p-2p）x+（

3pk

2

+p）²=0，
当k=0时，x=

p

2

，y=p，交点为（

p

2

，p）
l的方程为：y=p；
当k≠0时，需满足△=0，即（3k²-2）²-4k²（

3k

2

+1）²=0
k=-1，k=

-1± 13

6

，
l的方程为：y=-x-p，y=

-1± 13

6

x+3p
故直线l的方程为：y=p，y=-x-p，y=

-1± 13

6

x+3p

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，运用方程组的方法求解，注意特殊情况，属于中等题．