Question

3．若函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （0，1）
• C． （-1，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=0即a=$\frac{lnx+1}{x}$有两个不等的实数解．令g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R有两个零点，
等价为f（x）=0即a=$\frac{lnx+1}{x}$有两个不等的实数解．
令g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，g′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．
g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值1．
当x→+∞，y→0．
画出函数y=g（x）的图象，
由图象可得0＜a＜1时，y=g（x）和y=a有两个交点，
即方程有两个不等实数解，f（x）有两个零点．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，属于中档题．