Question

今年双十一，淘宝网站一天的销售记录震惊全球，网购已经成为人们消费的主要形式之一．假设一淘宝网店出售某商品，根据人们的咨询量预估成交额y（千元）与售价x（千元）之间满足关系y=ax²-lnx+2（x∈（0，1））(a＞

1

2e

)，而由于价格原因未能交易成功的成交额m（千元）与售价x（千元）之间满足关系m=x，记实际成交额为f（x）．
（1）若发现该商品的实际成交额一直下降，求此时a的取值范围；
（2）证明：只要实际成交额能出现上升趋势，则实际成交额一定不会小于2（千元）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，该商品的实际成交额一直下降，f′（x）＜0，即2ax²-x-1＜0对任意x∈（0，1）恒成立，分离参数求最值，即可确定a的取值范围；
（2）由题意，f′（x）＞0在x∈（0，1）上有解，设为x₀，确定x=x₀，函数取得极小值f（x₀）=

1-x0

2

-lnx₀+2，即可证明结论．

解答： （1）解：由题意，f（x）=ax²-lnx-x+2，则f′（x）=

2ax2-x-1

x

，
∵该商品的实际成交额一直下降，
∴f′（x）＜0，即2ax²-x-1＜0对任意x∈（0，1）恒成立，
∴a＜

1

2

（

1

x2

+

1

x

）恒成立，
∵

1

x

∈（1，+∞），
∴

1

x2

+

1

x

＞2，
∴a≤1，
∴

1

2e

＜a≤1；
（2）证明：由题意，f′（x）＞0在x∈（0，1）上有解，设为x₀，∴a＞1，
∴2ax₀²-x₀-1=0，且x∈（0，x₀），f′（x）＜0，（x₀，1），f′（x）＞0，
∴x=x₀，函数取得极小值f（x₀）=

1-x0

2

-lnx₀+2，
∵x∈（0，1），
∴

1-x0

2

-lnx₀+2＞2，
∴实际成交额一定不会小于2（千元）．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．