Question

下表为某专业的学生的毕业综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知80～90分数段的学生数为21人．

分数段	[65，70）	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
频率	0.05	0.2	0.25	0.2	0.15		0.05

（Ⅰ）求该专业毕业生综合能力测试成绩在90～95分数段内的人数；
（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的毕业生派往甲、乙、丙三个单位，若向甲单位派往两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率分为

3

5

．求90～95分数段内男女各几人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示派往乙单位的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布表,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布表求出80～90分数段的毕业生的频率为0.35，由80～90分数段的学生总数为21人，从而能求出毕业生的总人数为60，再求出90～95分数段内的人数频率，由此能求出90～95分数段内的人数．
（Ⅱ）90～95分数段内共有6名毕业生，设其中男生x名，女生为6-x名，设派往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，则P（A）=1-

C 2 6-x

C 2 6

=

3

5

，由此能求出6名毕业生中有男生2人，女生4人．
（Ⅲ）ξ表示6名毕业生中派往乙校的三名学生中男生的人数，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布表知：
80～90分数段的毕业生的频率为：p₁=0.2+0.15=0.35，
∵80～90分数段的学生总数为21人，
∴毕业生的总人数为N=

21

0.35

=60，
90～95分数段内的人数频率为：
P=1-（0.05+0.2+0.25+0.2+0.15+0.05）=0.1．
∴90～95分数段内的人数为60×0.1=6．
（Ⅱ）90～95分数段内共有6名毕业生，设其中男生x名，女生为6-x名，
设派往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，
则P（A）=1-

C 2 6-x

C 2 6

=

3

5

，
解得x=2或x=9（舍），
∴6名毕业生中有男生2人，女生4人．
（Ⅲ）ξ表示6名毕业生中派往乙校的三名学生中男生的人数，ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=1）=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=2）=

C 2 2 C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1．

点评：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．