Question

已知过点（1，0）的直线与曲线y=x³和y=ax²+

15

4

x-9都切于点M，求切点M的坐标和a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax²+

15

4

x-9都相切，联立方程组，△=0可求出所求．

解答： 解：设直线与曲线y=x³的切点M坐标为（x₀，y₀），
则

y0=x03 y0 x0-1 =3x02

，则切线的斜率k=3x₀²=0或k=

27

4

，
若k=0，此时切线的方程为y=0，
由

y=0 y=ax2+ 15 4 x-9

，
消去y，可得ax²+

15

4

x-9=0，
其中△=0，即（

15

4

）²+36a=0，
解可得a=-

25

64

，切点M（

24

5

，0）；
若k=

27

4

，其切线方程为y=

27

4

（x-1），
由

y= 27 4 (x-1) y=ax2+ 15 4 x-9

，
消去y可得ax²-3x-

9

4

=0，
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1，切点M（-

3

2

，-

135

8

）．
综上可得，a=-

25

64

，切点M（

24

5

，0）
和a=-1，切点M（-

3

2

，-

135

8

）．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．