Question

由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．
节排器等级如表格所示

综合得分K的范围	节排器等级
K≥85	一级品
75≤k＜85	二级品
70≤k＜75	三级品

若把频率分布直方图中的频率视为概率，则
（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；
（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由已知及频率直方图中的信息得到甲型号的节排器中一级品的概率为

3

5

，二级品的概率为

2

5

，用分层抽样方法抽取10件，其中有6件一级品，4件二级品，由此利用对立事件概率计算公式能求出从这10件节排器中随机抽取3件，至少有2件一级品的概率．
（2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为

7

10

，二级品的概率为

1

4

，三级品的概率为

1

20

，如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数X可能的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（1）由已知及频率直方图中的信息得到：
甲型号的节排器中一级品的概率为

3

5

，二级品的概率为

2

5

，
用分层抽样方法抽取10件，其中有6件一级品，4件二级品，
∴从这10件节排器中随机抽取3件，至少有2件一级品的概率：
P=1-

C 3 4 +C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

2

3

．
（2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为

7

10

，二级品的概率为

1

4

，三级品的概率为

1

20

，
如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数X可能的值为0，1，2，3
又P（X=0）=

C

0 3

×(

3

4

)3=

27

64

，
P（X=1）=

C

1 3

×(

1

4

)×(

3

4

)2=

27

64

，
P（X=2）=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

，
P（X=3）=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

E（X）=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

点评：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．