Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到双曲线x²-

y2

3

=1的渐近线的距离为

3

，过焦点F斜率为k的直线与抛物线C交于A、B两点，且

AF

=2

FB

，则|k|=（　　）

• A、2

  2

• B、

  2 2

  3

• C、

  2

  4

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,抛物线的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据抛物线C的焦点F到双曲线的渐近线距离求出p的值，
再利用直线方程与抛物线C的方程联立，消去x，求出y的值，
利用

AF

=2

FB

，得出y_A与y_B的关系式，从而求出k的值．

解答： 解：根据题意，得；
抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），
且F到双曲线x²-

y2

3

=1的渐近线y=±

3

x的距离为

3

，
∴

p 2 • 3

( 3 )2+12

=

3

，
解得p=4；
∴过焦点F斜率为k的直线为y=k（x-2），
与抛物线C：y²=8x联立，得：

y=k(x-2) y2=8x

，
消去x，得y²=8（

y

k

+2），
整理，得ky²-8y-16k=0，
解得y=

4±4 k2+1

k

；
又∵

AF

=2

FB

，
∴（4-x_A，-y_A）=2（x_B-4，y_B），
∴y_A=-2y_B；
当k＞0时，y_A＞0，y_B＜0，
∴

4+4 k2+1

k

=2•（-

4-4 k2+1

k

），
解得k=2

2

；
当k＜0时，y_A＜0，y_B＞0，
∴-

4+4 k2+1

k

=2•

4-4 k2+1

k

，
解得k=-2

2

；
∴|k|=2

2

．
故选：A．

点评：本题考查了双曲线与抛物线的综合应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，是较难的题目．