Question

已知函数f（x）=（a-x）e^x+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex+y+1-e=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=

f(x)

x

，求证：存在x₀≠0，使得g（x₀）＞1-

2

e

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f（1）=-1，且f′（1）=-e，列方程，解得a，b，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，设g′（x）=0的一个根为x₀，运用零点存在定理，可得-2＜x₀＜-1，即x₀为g（x）的极大值点，而g（-1）=1-

2

e

，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）=（a-x）e^x+b的导数为f′（x）=（a-x-1）e^x，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex+y+1-e=0，
即有f（1）=-1，且f′（1）=-e，
即（a-1）e+b=-1且（a-2）e=-e，
解得a=1，b=-1，
即有f（x）=（1-x）e^x-1；
（Ⅱ）证明：g（x）=

f(x)

x

=

(1-x)ex-1

x

，
g′（x）=

1-ex(x2-x+1)

x2

，
设g′（x）=0的一个根为x₀，
由于g′（-2）=

1-e-2(4+2+1)

4

＞0，g′（-1）=1-3e^-1＜0，
即有-2＜x₀＜-1，
即x₀为g（x）的极大值点，
而g（-1）=1-

2

e

．
故存在x₀≠0，使得g（x₀）＞1-

2

e

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值，运用函数的零点存在定理是解题的关键．