Question

在△ABC中，三边BC、AC、AB的 长分别为a、b、c，若a=4，E为边BC的中点．
（1）若

AB

•

AC

=1，求BC边上的中线AE的长；
（2）若△ABC面积为3

2

，求

AB

•

AC

的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,基本不等式在最值问题中的应用,向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用

AB

•

AC

=1，以及余弦定理列出方程组，通过cos∠AEB+cos∠AEC=0，即可求BC边上的中线AE的长；
（2）利用△ABC面积为3

2

，以及余弦定理求出bc的最值，然后利用基本不等式求

AB

•

AC

的最小值．

解答： 解：（1）由题意知

bccosA=1 b2+c2-2bccosA=16

可得b²+c²=18，…（2分）
又

c2=AE2+4-4AEcos∠AEB b2=AE2+4-4AEcos∠AEC

，且cos∠AEB+cos∠AEC=0，
相加得AE=

5

．…（6分）
（2）由条件得

1 2 bcsinA=3 2 b2+c2-2bccosA=16

即

bcsinA=6 2 bccosA= b2+c2-16 2

平方相加得72+(

b2+c2-16

2

)2=b2c2，…（10分）72+(

b2+c2-16

2

)2=b2c2≤

(b2+c2)2

4

⇒b2+c2≥17

AB

•

AC

=bccosA=

b2+c2-16

2

≥

1

2

，
即当b=c时，

AB

•

AC

的最小值为

1

2

．…（14分）

点评：本题考查余弦定理的应用，向量的数量积以及基本不等式的应用，考查计算能力．