题目内容
已知双曲线
-
=1及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设点代入双曲线方程，作差，假设P为AB的中点，求出直线的斜率，从而可得方程，再代入双曲线方程验证，可知这样的直线不存在．
解答：
解：假设符合题意的直线l存在．…（1分）
设直线l与双曲线的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴
. 两式相减可得到
•
=
．…（5分）
∵P（2，1）为AB的中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=2．…（7分）
∴kl=
=
．…（8分）
∴直线l的方程为y-1=
(x-2) ，即9x-8y-10=0 …（10分）
由过p与双曲线有两个焦点时-
≤k≤
即-
≤k≤
…（11分）
∴不存在符合题意的直线l．…（12分）
设直线l与双曲线的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴
|
| y1+y2 |
| x1+x2 |
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 9 |
| 16 |
∵P（2，1）为AB的中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=2．…（7分）
∴kl=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 9 |
| 8 |
∴直线l的方程为y-1=
| 9 |
| 8 |
由过p与双曲线有两个焦点时-
| b |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴不存在符合题意的直线l．…（12分）
点评：本题的考点是双曲线的简单性质，主要考查点差法求解中点弦问题，应注意验证结论是否满足题意．
练习册系列答案
相关题目
以下运算错误的是（ ）
A、ln
| |||||||||||||
| B、log2（47×25）=19 | |||||||||||||
C、
| |||||||||||||
D、（
|
已知函数y=f（x）对任意的x∈(-
，
)满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
A、f（0）＞
| ||||||
B、f（0）＜2f（
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|
