Question

1．若点A（2，2）在矩阵M=$[\begin{array}{l}{cosα}&{-sinα}\\{sinα}&{cosα}\end{array}]$对应变换的作用下得到的点为$B（-1-\sqrt{3}，-1+\sqrt{3}）$，求矩阵M的逆矩阵．

Answer 1

分析 根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵．

解答 解：由题意知，$M[\begin{array}{l}2\\ 2\end{array}]=[\begin{array}{l}-1-\sqrt{3}\\-1+\sqrt{3}\end{array}]$，即$[\begin{array}{l}2cosα-2sinα\\ 2sinα+2cosα\end{array}]=[\begin{array}{l}-1-\sqrt{3}\\-1+\sqrt{3}\end{array}]$----------------------（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}2cosα-2sinα=-1-\sqrt{3}\\ 2sinα+2cosα=-1+\sqrt{3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}cosα=-\frac{1}{2}\\ sinα=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$从而$M=[\begin{array}{l}-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{2}\end{array}]$-----------（6分）
由${M^{-1}}M=[\begin{array}{l}1\;\;\;\;\;0\\ 0\;1\end{array}]$，解得${M^{-1}}=[{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}}]$．----------------------------------------（10分）

点评 本题考查矩阵的求法，考查矩阵的逆矩阵，属于基础题．