Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=-2，a_n+1=2a_n+4．
（1）证明数列{a_n+4}是等比数列并求出{a_n}通项公式；
（2）若${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{（{a_{n+1}}+4）^{{a_n}+4}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件转化求解数列{a_n+4}是等比数列，然后求出{a_n}通项公式．
（2）化简数列通项公式b_n，利用错位相减法求和求解即可．

解答 解：（1）证明：∵a₁=-2，∴a₁+4=2，
∵a_n+1=2a_n+4，∴a_n+1+4=2a_n+8=2（a_n+4），
∴$\frac{{{a_{n+1}}+4}}{{{a_n}+4}}=2$，
∴{a_n+4}是以2为首项，2为公比的等比数列，
由上知${a_n}+4={2^n}$，∴${a_n}={2^n}-4$．…（4分）
（2）${b_n}=（{a_n}+4）•{log_{\frac{1}{2}}}（{a_{n+1}}+4）={2^n}•（-1）•{log_2}（{2^{n+1}}）=-（n+1）•{2^n}$
∴${S_n}=-[2×{2^1}+3×{2^2}+4×{2^3}+…+（n+1）×{2^n}]$，①
$2{S_n}=-[2×{2^2}+3×{2^3}+4×{2^4}+…+（n+1）×{2^{n+1}}]$，②
②-①得：${S_n}=2×{2^1}+{2^2}+{2^3}+{2^4}+…+{2^n}-（n+1）×{2^{n+1}}$
=$2+\frac{{2×（1-{2^n}）}}{1-2}-（n+1）×{2^{n+1}}$
=2+2ⁿ⁺¹-2-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹．…（8分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．