Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点O是A₁C₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（1）求证：AB₁⊥A_lC；
（2）求A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出四边形A₁C₁CA为菱形，从而得到A₁C⊥平面AB₁C₁，由此能够证明AB₁⊥A₁C．
（Ⅱ）设点C₁到平面AA₁B₁的距离为d，利用等积法求出d=

2 21

7

，由此能求出A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，
又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO=O，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁，
又∵AA₁=AC，∴四边形A₁C₁CA为菱形，
∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C．
（Ⅱ）解：设点C₁到平面AA₁B₁的距离为d，
∵VA-A1B1C1=VC1-AA1B1，
∴

1

3

•

1

2

•A1C1•B1C1•AO=

1

3

•S△AA1B1•d，
又∵在△AA₁B₁中，A1B1=AB1=2

2

，
S△AA1B1=

7

，∴d=

2 21

7

，
∴A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值为

21

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．