Question

已知函数f（x）=e^x-ax，g（x）=b-sinx，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）当a=2时，对任意x₁∈R，存在x₂∈R，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围；
（2）若F（x）≥sin1-cos1-b对任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）通过求导，令f'（x）＞0，f'（x）＜0，求出f（x）的单调性，从而得到f（x）的最小值，求出g（x）的最小值，由条件可知，只需f（x）_min≥g（x）_min，从而得到b的取值范围；
（2）原不等式ax≤e^x+sinx-sin1+cos1对任意x≥0恒成立，对x=0，x＞0讨论，运用参数分离，构造函数求导数，再构造函数求导数，从而得到原函数的单调性，求出最值，得出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=e^x-2x，f'（x）=e^x-2，
则x＞ln2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x＜ln2时，f（x）单调递减．
∴f（x）_min=f（ln2）=2-2ln2，
又易知g（x）_min=b-1，
对任意x₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂），只需f（x）_min≥g（x）_min，
即2-2ln2≥b-1，∴b≤3-2ln2；
（2）F（x）≥sin1-cos1-b对任意x≥0恒成立，
即等价于e^x-ax+sinx≥sin1-cos1对任意x≥0恒成立．
即ax≤e^x+sinx-sin1+cos1对任意x≥0恒成立．
①若x=0，显然有a∈R，均有ax≤e^x+sinx-sin1+cos1恒成立，
②若x＞0，则即a≤

ex+sinx-sin1+cos1

x

对x＞0恒成立，
设h（x）=

ex+sinx-sin1+cos1

x

，则只需a≤h（x）_min，
又h'（x）=

(x-1)ex+xcosx-sinx+sin1-cos1

x2

，
设φ（x）=（x-1）e^x+xcosx-sinx+sin1-cos1，知φ（1）=0，
φ'（x）=x（e^x-sinx），∵x＞0时，φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，+∞）单调递增，
从而当x∈（0，1）时，φ（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，φ（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴h（x）_min=h（1）=e+cos1，从而a≤e+cos1．
综上可知实数a的取值范围是（-∞，e+cos1]．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调性，求极值和最值，考查不等式成立问题转化为求函数最值问题，以及参数分离和构造函数的重要思想方法，是一道综合题，属于难题．