Question

如图，直三角棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（1）证明：MN∥平面A′ACC′；
（2）求平面A′MN与平面MNC的夹角．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；
（2）建立直角坐标系，求出平面A′MN的法向量、平面MNC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出平面A′MN与平面MNC的夹角．

解答： （1）证明：连接AB′、AC′，
由已知∠BAC=90°，AB=AC，
三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点，
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′；
（2）解：以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，
A（0，0，0），B（

2

，0，0），C（0，

2

，0），A′（0，0，1），B′（

2

，0，1），C′（0，

2

，1）．
所以M（

2

2

，0，

1

2

），N（

2

2

，

2

2

，1），
设

m

=（x₁，y₁，z₁）是平面A′MN的法向量，
由

m • A′M =0 m • MN =0

，得

2 2 x1- 1 2 z1=0 2 2 y1+ 1 2 z1=0

，得

m

=（1，-1，

2

），
同理平面MNC的法向量

n

=（-3，-1，

2

），
所以

m

•

n

=0
所以平面A′MN与平面MNC的夹角为90°．

点评：本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中．