Question

证明下列命题：
（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；
（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．

Answer 1

考点：简单复合函数的导数,导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）利用复合函数导数公式及周期性定义即可证明；
（2）利用复合函数导数公式及奇偶性定义即可证明；

解答： 证明：（1）设f（x）的周期为T，则f（x）=f（x+T）．
∴f′（x）=[f（x+T）]′=f′（x+T）•（x+T）′
=f′（x+T），即f′（x）为周期函数且周期与f（x）的周期相同．…（5分）
（2）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∴[f（-x）]′=[-f（x）]′．
∴f′（-x）•（-x）′=-f′（x）．
∴f′（-x）=f′（x），即f′（x）为偶函数        …（10分）

点评：本题考查复合函数的求导公式及周期性及奇偶性的证明，有一定的综合性