Question

设a、b、m、n均为正数，且m+n=1，若p=

ma+nb

．q=m

a

+n

b

，则p与q的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：依题意知，m=1-n，n=1-m；作差p²-q²=mn(

a

-

b

)2≥0，从而可判断p与q的大小关系．

解答： 解：∵a、b、m、n均为正数，且m+n=1，
∴m=1-n，n=1-m；
∵p=

ma+nb

＞0，q=m

a

+n

b

＞0，
∴p²-q²=ma+nb-（m²a+2mn

ab

+n²b）
=（m-m²）a-2mn

ab

+（n-n²）b
=m（1-m）a-2mn

ab

-n（n-1）b
=mna-2mn

ab

+mnb
=mn(

a

-

b

)2≥0，
∴p²≥q²，又p＞0，q＞0，
∴p≥q．
故答案为：p≥q．

点评：本题考查不等式比较大小，着重考查作差法的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．