Question

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，
BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）求三棱锥A-BED的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出AB∥DG，即而根据线面平行的判定定理证明出AB∥平面DEG．
（2）先根据线面垂直的性质证明出EF⊥AE，进而根据线面垂直的判定定理证明出AE⊥平面BCFE，根据线面垂直的性质推断出DH⊥EG，证明出四边形BGHE为正方形，进而推断出BH⊥EG，最后根据线面垂直的判定定理证明出EG⊥平面BHD，则BD⊥EG得证．
（3）先证明出AD⊥平面AEB，推断出三棱锥A-BED的高为AD，进而根据三棱锥体积的公式求得其体积．

解答： （1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD∥BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．    
又∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．
过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．
（3）∵EF⊥平面AEB，EF∥AD，∴AD⊥平面AEB，故三棱锥A-BED的高为AD
∵AE⊥EB，∴S_△AEB=

1

2

AE•BE=

1

2

×2×2=2，
∴V_A-BED=

1

3

AD•S_△AEB=

1

3

×2×2=

4

3

．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的运用．要求学生对基础定理能熟练记忆并灵活运用．