Question

已知等差数列{a_n}满足a_n+a_n+1=n+

1

2

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁，a_m，a_3m成等比数列，求m的值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）解法一：利用基本量法，求出首项与公差，即可求{a_n}的通项公式；解法二：求出a_n+a_n+1=2a₁+（2n-1）•d=2dn+2a₁-d，所以有2dn+2a1-d=n+

1

2

对n∈N^*成立，求出首项与公差，即可求{a_n}的通项公式；
（2）利用等差数列的求和公式，可求{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁，a_m，a_3m成等比数列，利用等比数列的性质，即可求m的值．

解答： 解：（1）解法一：设{a_n}的公差为d，因为an+an+1=n+

1

2

，
所以有

a1+a2=1+ 1 2 a2+a3=2+ 1 2

，两式相减得到，2d=1，即d=

1

2

…．（2分）
代入得到a1=

1

2

…．（4分）
所以an=

1

2

+(n-1)•

1

2

=

n

2

…．（6分）
解法二：设{a_n}的公差为d，
则a_n=a₁+（n-1）•d，a_n+1=a₁+n•d，…．（2分）
所以a_n+a_n+1=2a₁+（2n-1）•d=2dn+2a₁-d
所以有2dn+2a1-d=n+

1

2

对n∈N^*成立，
所以有

2d=1 2a1-d= 1 2

，解得

d= 1 2 a1= 1 2

           …．（4分）
所以an=

1

2

+(n-1)•

1

2

=

n

2

…．（6分）
（2）因为Sn=

(a1+an)

2

n，所以Sn=

(n+1)n

4

…．（9分）
（3）因为a₁，a_m，a_3m成等比数列，所以(am)2=a1a3m…．（10分）
即

m2

4

=

1

2

•

3m

2

…．（11分）
解得m=3，m=0（舍掉）          
所以m=3…．（12分）

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．