Question

设n（n≥2）是给定的整数，x₁，x₂，…，x_n是实数，则sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁的最大值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式sinx₁cosx₂≤

sin2x1+cos2x2

2

，sinx₂cosx₃≤

sin2x2+cos2x3

2

，…，sinx_ncosx₁≤

sin2xn+cos2x1

2

，即可证得结论．

解答： 解：∵sinx₁cosx₂≤

sin2x1+cos2x2

2

，
sinx₂cosx₃≤

sin2x2+cos2x3

2

，
…
sinx_ncosx₁≤

sin2xn+cos2x1

2

，
∴sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁
≤

sin2x1+cos2x2

2

+

sin2x2+cos2x3

2

+…+

sin2xn+cos2x1

2

=

(sin2x1+cos2x1)+(sin2x2+cos2x2)+…+(sin2xn+cos2xn)

2

=

n

2

（当x₁=x₂=…=x_n=

π

4

+2kπ（k∈N）时可取“=”）．
故答案为：

n

2

．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查基本不等式的应用，考查观察与综合分析．运算求解的能力，属于难题．