Question

11．（重点中学做）已知数列{a_n}满足$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$=[$\frac{n（n+1）}{2}$]²（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1，则数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用递推关系可得：a_n=$\frac{1}{n}$．再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$=[$\frac{n（n+1）}{2}$]²（n∈N^*），
∴当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，解得a₁=1．
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（n-1）^{2}}{{a}_{n-1}}$=$[\frac{n（n-1）}{2}]^{2}$（n∈N^*），
可得：$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$=n³，解得a_n=$\frac{1}{n}$．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则数列{b_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．