Question

12．奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{πx}{3}，0≤x≤1}\\{lo{g}_{2}\frac{1}{x}，1＜x＜2}\end{array}\right.$，则f（2014）+f（2015）+f（2016）的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，得到函数的周期是4，利用函数奇偶性和周期性的性质进行转化求解即可．

解答 解：∵奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则函数的周期是4，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
∵f（x+2）=f（-x），
∴当x=0时，f（2）=f（0）=0，
则f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0，
f（2015）=f（504×4-1）=f（-1）=-f（1）=-sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，
则f（2014）+f（2015）+f（2016）=0-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+0=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解是解决本题的关键．