Question

2．已知f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0]时，函数解析式f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{a}{{2}^{x}}$（a∈R）．
（1）写出f（x）在[0，2]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，求出a，结合x∈[-2，0]时，函数解析式，可得f（x）在[0，2]上的解析式；
（2）换元、配方，即可求f（x）在[0，2]上的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，
∴f（0）=0，即f（0）=$\frac{1}{40}$-$\frac{a}{20}$=1-a=0．
a=1．…（3分）
设x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]．
∴f（-x）=$\frac{1}{4-x}$-$\frac{1}{2-x}$=4^x-2^x．
又∵f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=4^x-2^x．
∴f（x）=2^x-4^x．…（8分）
（2）当x∈[0，2]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴设t=2^x（t＞0），则f（t）=t-t²．
∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]．
当t=1时，取最大值，最大值为1-1=0．…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性的运用：求函数的解析式，考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，属于中档题．