题目内容
14．已知数列{an}，{bn}满足a1=$\frac{1}{2}$，an+bn=1，bn+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N*，则b2016=$\frac{2016}{2017}$．分析 数列{an}，{bn}满足a1=$\frac{1}{2}$，an+bn=1，bn+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N*，可得b1=1-a1=$\frac{1}{2}$，bn+1=$\frac{{b}_{n}}{1-（1-{b}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$．求出b2，b3，b4，…，猜想：bn=$\frac{n}{n+1}$，即可得出．
解答 解：∵数列{an}，{bn}满足a1=$\frac{1}{2}$，an+bn=1，bn+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N*，
∴b1=1-a1=$\frac{1}{2}$，bn+1=$\frac{{b}_{n}}{1-（1-{b}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$．
∴b2=$\frac{2}{3}$，b3=$\frac{3}{4}$，b4=$\frac{4}{5}$，…，
猜想：bn=$\frac{n}{n+1}$，
经过验证：bn+1=$\frac{n+1}{n+2}$成立．
则b2016=$\frac{2016}{2017}$．
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．
点评 本题考查了递推关系、猜想与证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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