Question

10．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当-1≤x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），则方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0在（0，6）内的所有根之和为12．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和对称性推导出f（x）是以4为周期的周期函数，由当-1≤x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），作出f（x）在（0，6）内的图象，数形结合能求出方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0在（0，6）内的所有根之和．

解答 解：∵定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=f（2-x）=-f（-x），
即f（x）=-f（x+2）=f（x+4），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∵当-1≤x＜0时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），
∴f（x）在（0，6）内的图象如右图：
由方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0得f（x）=$\frac{1}{2}$，
作出函数y=$\frac{1}{2}$的图象如图：
则两个函数有4个交点，对应交点的横坐标分别关于x=1和x=5对称，
则在（0，6）内的零点之和为：
x₁+x₂+x₃+x₄=2+10=12．
故答案为：12

点评 本题主要考查方程根的个数的判断，结合函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及利用数形结合是解决本题的关键．注意函数性质和数形结合思想的合理运用．