题目内容

2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）的长轴长为2$\sqrt{2}$，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积恒为-$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（-$\frac{1}{4}$，0），求线段AB长的取值范围．

分析 （1）利用椭圆Q的长轴长为2$\sqrt{2}$，求出a．设P（x0，y0），通过直线PA2与OM的斜率之积恒为-$\frac{1}{2}$，列方程化简化简求出b，即可得到椭圆方程．
（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入椭圆方程化简，利用韦达定理求出AB的垂直平分线方程，得出N点横坐标，从而得出k2的范围，利用弦长公式得出|AB|化简，即出得出|AB|的范围．

解答 解：（1）∵椭圆Q的长轴长为2$\sqrt{2}$，∴a=$\sqrt{2}$．∴A2（$\sqrt{2}$，0），
设P（x0，y0），则M（$\frac{{x}_{0}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），
∵直线PA2与OM的斜率之积恒为-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y02=1，∴b=1，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），
∴x1+x2=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴x0=$\frac{1}{2}$（x1+x2）=-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y0=k（x0+1）=$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的垂直平分线方程为：y-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
令y=0得x=-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴-$\frac{1}{4}$＜-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$＜0，
解得：0＜k2$＜\frac{1}{2}$．
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16{k}^{4}-4（2{k}^{2}+1）（2{k}^{2}-2）}}{1+2{k}^{2}}$
=2$\sqrt{2}$[$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2（2{k}^{2}+1）}$]，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜|AB|＜2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的应用，设而不求的思想方法，考查计算能力．

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印刷册数x（千册）23458
单册成本y（元）3.22.421.91.7
根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：${\hat y^{（1）}}=\frac{4}{x}+1.1$，方程乙：${\hat y^{（2）}}=\frac{6.4}{x^2}+1.6$．
（I）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
①完成下表（计算结果精确到0.1）；
印刷册数x（千册）23458
单册成本y（元）3.22.421.91.7
模型甲估计值${\hat y_i}^{（1）}$2.42.11.6
残差${\hat e_i}^{（1）}$0-0.10.1
模型乙估计值${\hat y_i}^{（2）}$2.321.9
残差${\hat e_i}^{（2）}$0.100
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（II）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.7）或16千册（概率0.3），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，估计印刷厂二次印刷8千册还是16千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

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