Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f[f（x）]=xf（x）+1，则方程f（x）=0的实根个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、4

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：

分析：设设函数的零点为x₀，则f（x₀）=0，
赋值思想：x=0，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得f（1）=1，
x=1，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得：f[f（1）]=1×f（1）+1，即f（1）=1×1+1=2，与f（1）=1，矛盾，判断无零点．

解答： 解：∵f[f（x）]=xf（x）+1，
∴设函数的零点为x₀，
则f（x₀）=0，
∴f[f（x₀）]=x₀f（x₀）+1，
f（0）=x₀×0+1=1，
把x=0代入f[f（x）]=xf（x）+1可得f（1）=1，
x=1，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得：f[f（1）]=1×f（1）+1，
即f（1）=1×1+1=2，与f（1）=1，矛盾．
∴函数f（x）无零点，
方程f（x）=0的实根个数为0
故选：A

点评：本题考查了抽象函数的零点的求解判断，赋值思想，反正法，属于难题．