Question

已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q（6，3）．
（1）若M（x，y）为圆C上任一点，求K=

y-3

x-6

的最大值和最小值；
（2）已知点N（-6，3），直线kx-y-6k+3=0与圆C交于点A、B．当k为何值时

NA

•

NB

取到最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,平面向量数量积的运算

专题：直线与圆

分析：（1）首先根据题意直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径求出k的值．
（2）根据直线与圆有两个交点，根据根和系数的关系求出

NA

•

NB

=（x₁+6）（x₂+6）+（y₁-3）（y₂-3），进一步利用均值不等式求出结果．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²-4x-14y+45=0转化为标准式为：（x-2）²+（y-7）²=8
直线kx-y-6k+3=0与圆C有公共点
则：d=

|2k-7-6k+3|

1+k2

≤r=2

2

．
解不等式得：-2-

3

≤k≤-2+

3

即K=

y-3

x-6

的最大值为：-2+

3

．
最小值为：-2-

3

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程kx-y-6k+3=0代入圆的方程得：
（k²+1）x²-4（3k²+2k+1）x+12（3k²+4k+1）=0
由于直线与圆交于A、B两点，
所以：x1+x2=

4(3k2+2k+1)

k2+1

，x1x2=

12(3k2+4k+1)

k2+1

所以：

NA

•

NB

=（x₁+6）（x₂+6）+（y₁-3）（y₂-3）
=(k2+1)x1x2+(6-6k2)(x1+x2)+36（k²+1）
=24（7+4

k-1

k2+1

）=24（7+4

1

(k-1)+ 2 (k-1) +2

）
当k=1-

2

时，

NA

•

NB

取到最小值．

点评：本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，根和系数的关系，均值不等式的应用，及相关的运算问题，属于中档题．