Question

若函数

logax，x≥1 (3a-1)x+4a，x＜1

为区间（-∞，+∞）上单调减函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：先由条件知函数在x＜1时应递减，即y=（3a-1）x+4a递减，故3a-1＜0，所以a＜

1

3

，
进而y=log_ax在x≥1时递减，只要再保证直线型函数y=（3a-1）x+4a在x=1时的函数值大于或等于y=log_ax在x=1时的函数值log_a1=0即可．

解答： 解：由条件知函数在x＜1时应递减，即y=（3a-1）x+4a递减，故3a-1＜0，所以a＜

1

3

，
∴y=log_ax在x≥1时递减，
∴y=log_ax在x≥1时的最大值为log_a1=0，
∴函数y=log_ax在x≥1时的图象的最高点的坐标为（1，0），
要使整个函数递减，只要使直线型函数y=（3a-1）x+4a在x=1时的函数值大于或等于0即可，
∴（3a-1）×1+4a≥0，
解得a≥

1

7

，又∵a＜

1

3

，
∴

1

7

≤a＜

1

3

故答案为：[

1

7

，

1

3

)

点评：本题的解题技巧在于先由线型函数的单调性，得出a的大体范围，再进一步约束a的具体范围．