Question

16．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，BB₁=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB₁上的动点，当AD+DC₁最小时，三棱锥D-ABC₁的体积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 将直三棱柱ABC-A₁B₁C₁展开成矩形ACC₁A₁，如图，连结AC₁，交BB₁于D，此时AD+DC₁最小，当AD+DC₁最小时，BD=1，此时三棱锥D-ABC₁的体积：${V}_{D-AB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABD}$，由此能求出结果．

解答 解：将直三棱柱ABC-A₁B₁C₁展开成矩形ACC₁A₁，如图，
连结AC₁，交BB₁于D，此时AD+DC₁最小，
∵AB=1，BC=2，BB₁=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB₁上的动点，
∴当AD+DC₁最小时，BD=1，
此时三棱锥D-ABC₁的体积：
${V}_{D-AB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×{B}_{1}{C}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BD×{B}_{1}{C}_{1}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．