Question

7．已知F₁，F₂是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{b}$（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\frac{{3\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{5}}}{4}$

Answer 1

分析 如图所示，由 切线的性质可得：OQ⊥PF₂．又点O为线段F₁F₂的中点，利用三角形中位线定理可得：OQ∥PF₁，PF₁⊥PF₂．再利用椭圆的定义、勾股定理可得（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²，化为：b=$\frac{2a}{3}$．c²=a²-b²=$\frac{5}{9}{a}^{2}$．代入$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{b}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，由 切线的性质可得：OQ⊥PF₂．
又点O为线段F₁F₂的中点，Q为线段PF₂的中点，
∴OQ∥PF₁，∴PF₁⊥PF₂．
∴|PF₁|=2|OQ|=2b，|PF₂|=2a-2b．
在Rt△PF₁F₂中，（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²，
化为：b²+（a-b）²=c²=a²-b²，
化为：b=$\frac{2a}{3}$．
∴c²=a²-b²=${a}^{2}-（\frac{2a}{3}）^{2}$=$\frac{5}{9}{a}^{2}$．
∴$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}{b}$=$\frac{{a}^{4}+\frac{5}{9}{a}^{2}}{{a}^{2}×\frac{2a}{3}}$=$\frac{9{a}^{2}+5}{6a}$≥$\frac{2\sqrt{9{a}^{2}•5}}{6a}$=$\sqrt{5}$，当且仅当a²=$\frac{5}{9}$时取等号．
∴$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{b}$（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程与几何性质、三角形中位线定理、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．