Question

已知函数y=

x3

3

+

ax2+(a+b)x+1

2

的两个极值点分别为x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），记分别以a，b为横、纵坐标的点P（a，b）表示的平面区域为D，若函数y=log_a（x+3）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，可得方程x²+mx+

1

2

（m+n）=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞），从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=log_a（x+3）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，可求实数a的取值范围．

解答： 解：求导函数可得y'=x²+mx+

1

2

（m+n），
依题意知，方程y'=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
构造函数f（x）=x²+mx+

1

2

（m+n），
∴

f(0)＞0 f(1)＜0

即

m+n＞0 2+3m+n＜0

，
∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=log_a（x+3）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜log_a（-1+3）
∴log_a2＜1，解得a＜2
又∵a＞1，
∴1＜a＜2，
故答案为（1，2）．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生数形结合的能力，属于中档题．