Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）
（1）求周期，振幅，单调区间，对称轴，对称中心；
（2）指出如何由y=sinx变换得到；
（3）作出一个周期内的图象；
（4）方程f（x）-lgx=0有几个实根？

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的图象和性质即可求周期，振幅，单调区间，对称轴，对称中心；
（2）根据三角函数图象之间的关系即可得到结论；
（3）作出一个周期内的图象；
（4）将方程f（x）-lgx=0转化为f（x）=lgx，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+

π

6

），
∴周期T=

2π

2

=π，振幅为1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，即函数的递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，即函数的递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

，即函数的对称轴为x=

kπ

2

+

π

6

，
由2x+

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

12

，即函数的对称中心为（

kπ

2

-

π

12

，0）；
（2）将y=sinx的图象沿着x轴向左平移

π

6

个单位得到y=sin（x+

π

6

），然后纵坐标不变横坐标表位原来的

1

2

，即可得到f（x）=sin（2x+

π

6

）的图象；
（3）函数在一个周期内的图象；
（4）由f（x）-lgx=0得f（x）=lgx，
作出f（x）和y=lgx的图象可知，两个图象6个交点，
即方程由6个根．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握相应的公式．