Question

证明不等式：e^x≥x+1≥sinx+1（x≥0）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：构造函数f（x）=e^x-x-1，x＞0及g（x）=x-sinx，x≥0，利用导数判断函数的单调性，求得f（x）及g（x）的最小值即可证明e^x≥x+1≥sinx+1（x≥0）．

解答： 证明：令f（x）=e^x-x-1，x＞0，
则f′（x）=e^x-1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0），
而f（0）=e⁰-0-1=0，∴f（x）＞0，
即e^x＞x+1．
令g（x）=x-sinx，x≥0，
g'（x）=1-cosx≥0，
∴g（x）_min=g（0）=0-sin0=0，
∴g（x）=x-sinx≥0，
∴x+1≥sinx+1（x≥0）．
综上，e^x≥x+1≥sinx+1（x≥0）．

点评：本题主要考查利用导数证明不等式成立的知识，通过构造函数法把问题转化为求函数的最值问题解决，体会转化划归思想的运用，属中档题．