Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组

m＞3 f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0

，那么m²+n²的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,直线与圆

分析：由于对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，则-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），则原不等式组可化为f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），且m＞3，再由单调性可得（m-3）²+（n-4）²＜4，又m＞3，则原不等式组表示的平面区域为右半圆内的部分，由于m²+n²表示点（m，n）与原点的距离d的平方，通过图象观察即可得到取值范围．

解答： 解：由于对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，
则-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），
即有f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
即为f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），
由于f（x）是定义在R上的增函数，
则m²-6m+23＜2-n²+8n，
即有（m-3）²+（n-4）²＜4，
又m＞3，则原不等式组表示的平面区域为右半圆内的部分，
由于m²+n²表示点（m，n）与原点的距离d的平方，
由图象可得d∈（|OA|，|OB|），
即d∈（

13

，7）．
即有m²+n²的取值范围是（13，49）．
故答案为：（13，49）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及应用，考查不等式组表示的平面区域，考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的思想方法，属于中档题．