Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

mx²+nx+2；
（1）如果函数f（x）有两个极值点-1和2，求实数m、n的值；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁和x₂，且x₁∈[-1，1]，x₂∈[1，+∞]，求（m-2）²+（n-1）²的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，得到故f′（x）=（x+1）（x-2），从而求出m，n的值，（2）由题意得不等式组，画出草图，将问题转化为求|AB|的长．

解答： 解：（1）由f（x）=

1

3

x³+

1

2

mx²+nx+2，
故f′x）=x²+mx+n，
函数f（x）有两个极值点-1和2，
故f′（x）=（x+1）（x-2），
∴m=-1，n=-2．
经检验，m=-1，n=-2满足题意．
（2）由函数f（x）有两个极值点x₁和x₂，且x₁∈[-1，1]，x₂∈[1，+∞），
故有

f′(-1)=1-m+n＞0 f′(1)=1+m+n＜0

，即

m-n-1＜0 m+n+1＜0

，
画出上述不等式组的可行域Ω如右图：

又（m-2）²+（n-1）²表示点（m，n）到点A（2，1）距离的平方．
而点A（2，1）到可行域Ω的点的最小距离是点A到点B（0，-1）的距离．
|AB|=

(2-0)2+(1+1)2

=2

2

∴（m-2）²+（n-1）²的最小值是|AB|²=(2

2

)2=8，
此时，m=0，n=-1；
经检验，m=0，n=-1满足题意．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性问题，函数的最值问题，渗透了数形结合思想，是一道中档题．