Question

某圆锥曲线有下列信息：
①曲线是轴对称图形，且两坐标轴都是对称轴；
②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1；
③曲线与坐标轴的交点不是两个；
④曲线过点A（1，

3

2

）．
（1）判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程；
（2）点F是改圆锥曲线的焦点，点F′是F关于坐标原点O的对称点，点P为曲线上的动点，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件知该曲线为焦点在x轴上的椭圆，且2c=2，2a=4，由此能求出圆锥曲线的标准方程．
（2）设P（x₀，y₀），推导出满足y02=3-

3x02

4

，从而得到|PF|²=

x02

4

-2x0+4∈[1，9]，由此能求出|PF|的取值范围和|PF|•|PF′|的取值范围．

解答： 解：（1）∵该曲线与坐标轴至少有3个交点，
∴该曲线为焦点在x轴上的椭圆，
且2c=2，c=1，（2分）
F₁、F₂分别是该圆锥曲线的左、右焦点，
|AF1|+|AF2|=

22+ 9 4

+

02+ 9 4

=4，
所以2a=4，a=2，b²=4-1=3，（5分）
∴所求圆锥曲线的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（6分）
（2）设P（x₀，y₀），
则满足

x02

4

+

y02

3

=1，
∴y02=3-

3x02

4

，（-2≤x₀≤2），
|PF|²=（x₀-1）²+3-

3x02

4

=

x02

4

-2x0+4，（7分）
由-2≤x₀≤2，
得到|PF|²=（x₀-1）²+3-

3x02

4

=

x02

4

-2x0+4∈[1，9]，
|PF|∈[1，3]，9分
|PF|+|PF′|=2a=4|PF|•|PF′|=|PF|•（4-|PF|）=4|PF|-|PF′|²，
由|PF|∈[1，3]，
知|PF|•|PF′|∈[3，4]，
∴|PF|的取值范围是[1，3]，|PF|•|PF′|的取值范围是[3，4]．（13分）

点评：本题考查曲线方程类型的判断及求法，考查线段的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．