Question

椭圆的中心在坐标原点，长轴的端点为A，B，右焦点为F，且，

AF

•

FB

=1，|

OF

|=1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆分别交于点M，N，直线l₂与椭圆分别交于点P，Q，且l₁⊥l₂，求四边形MPNQ面积取最小值以及直线l₁，l₂的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），则由题意知c=1，（a+c）（a-c）=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ） 若直线l₁，l₂中有一条斜率不存在，能求出S=2；若直线l₁，l₂的斜率存在，设直线l₁的方程为：y=k（x-1），k≠0，则

y=k(x-1) x2+2y2=2

，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出S=

1

2

×

2 2 (1+k2)

1+2k2

-

2 2 (1+k2)

2+k2

=

4

2+ 1 k2+k-2+2

≥

16

9

，由此能求出四边形的面积的最小值为

16

9

，此时直线为：y=x-1．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
则由题意知c=1，
由

AF

•

FB

=1，得（a+c）（a-c）=1，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ） ①若直线l₁，l₂中有一条斜率不存在，不妨设直线l₂的斜率不存在，则l₂⊥x轴，
∴|MN|=2

2

，∴|PQ|=

2

，
∴S=

1

2

×2

2

×

2

=2．
②若直线l₁，l₂的斜率存在，设直线l₁的方程为：y=k（x-1），k≠0，
则

y=k(x-1) x2+2y2=2

，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=16k⁴-4（2k²+1）（2k²-2）＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，
同理，|PQ|=

2 2 (1+k2)

2+k2

，
∴S=

1

2

×

2 2 (1+k2)

1+2k2

-

2 2 (1+k2)

2+k2

=

4

2+ 1 k2+k-2+2

≥

16

9

，
当且仅当k=±1时，等号成立，
综上四边形的面积的最小值为

16

9

，此时直线为：y=x-1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最小值及此时直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．