Question

设f（x）=k（x²-x+1）-x⁴（1-x）⁴，如果对任何x∈[0，1]，都有f（x）≥0，则k的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：导数的综合应用

分析：根据不等式恒成立，利用参数分类法，求函数的导数，利用导数求出函数在闭区间上的最值即可得到结论．

解答： 解：如果对任何x∈[0，1]，都有f（x）≥0，
则等价为如果对任何x∈[0，1]，都有k（x²-x+1）-x⁴（1-x）⁴≥0，
∵x²-x+1＞0恒成立，
∴不等式等价为k≥

x4(x-1)4

x2-x+1

=

(x2-x)4

x2-x+1

，
设g（x）=

(x2-x)4

x2-x+1

，
则函数的导数g′（x）=

4(x2-x)3(2x-1)(x2-x+1)-(x2-x)4(2x-1)

(x2-x+1)2

=

(x2-x)3(2x-1)(3x2-3x+4)

(x2-x+1)2

，
由g′（x）=0，解得x=0或x=1或x=

1

2

，
则g（0）=g（1）=0．g（

1

2

）=

( 1 4 - 1 2 )4

1 4 - 1 2 +1

=

1 256

3 4

=

1

192

，
故函数g（x）在[0，1]上的最大值为

1

192

，
故k≥

1

192

，
∴k的最小值为

1

192

，
故答案为：

1

192

点评：本题主要考查函数最值的应用，利用参数分类法结合函数的最值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．