题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E是AB的中点，G为PA上的一点．（1）求证：平面GDE⊥平面PCD；
（2）若PC∥平面DGE，求
| PG |
| GA |
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）连接BD，由已知结合面面垂直的性质定理可证得DE⊥平面PCD，进而再由面面垂直的判定定理可得平面GDE⊥平面PCD；
（2）当PG=2GA，即
=2时，PC∥平面DGE，连接AC交FD与点M，交BE于点N，连接MG，利用线面平行判定定理，可证得结论．
（2）当PG=2GA，即
| PG |
| GA |
解答：
证明：（1）连接BD，
∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°
∴△ABD为等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，即DE⊥CD，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，DE?平面ABCD，
∴DE⊥平面PCD，
又∵DE?平面GDE，
∴平面GDE⊥平面PCD；
（2）当PG=2GA，即
=2时，PC∥平面DGE，理由如下：
连接AC交ED与点M，连接MG
则△AEM∽△CDM，
∵E为AB的中点，
∴
=
=2，
又∵
=2
∴PC∥MG
又∵PC?平面DGF，GM?平面DGF，
∴PC∥平面DGF
∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°
∴△ABD为等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，即DE⊥CD，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，DE?平面ABCD，
∴DE⊥平面PCD，
又∵DE?平面GDE，
∴平面GDE⊥平面PCD；
（2）当PG=2GA，即
| PG |
| GA |
连接AC交ED与点M，连接MG
则△AEM∽△CDM，
∵E为AB的中点，
∴
| MC |
| AM |
| CD |
| AE |
又∵
| PG |
| GA |
∴PC∥MG
又∵PC?平面DGF，GM?平面DGF，
∴PC∥平面DGF
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
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