Question

已知sinx+siny=

1

3

，求siny-cos²x的最大值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由题意得siny=

1

3

-sinx且siny=

1

3

-sinx∈[-1，1]，得到sinx的取值范围，把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最大值．

解答： 解：由已知条件有siny=

1

3

-sinx且siny=

1

3

-sinx∈[-1，1]（结合sinx∈[-1，1]）
得-

2

3

≤sinx≤1，
而siny-cos²x=

1

3

-sinx-cos²x═sin2x-sinx-

2

3

令t=sinx(-

2

3

≤t≤1)，则原式=t2-t-

2

3

(-

2

3

≤t≤1)
根据二次函数的性质得：当t=-

2

3

即sinx=-

2

3

时，原式取得最大值

4

9

．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的有界性，二次函数的性质，求sinx的取值范围是易错点．