题目内容
如图：四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥CD，三角形ADE是等边三角形，且平面ABCD⊥平面ADE，EF∥AB，CD=2AB=2AD=2EF=4，| CG |
| 2 |
| 3 |
| CF |
（1）求证：AF∥平面BDG；
（2）求二面角C-BD-G的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,用空间向量求平面间的夹角
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）连接AC交BD于H，连接GH，由已知条件推导出GH∥AF，由此能证明AF∥平面BDG．
（2）建立空间坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-BD-G的余弦值．
（2）建立空间坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-BD-G的余弦值．
解答：
（1）证明：连接AC交BD于H，连接GH，（1分）
∵
=
，∴
=
，
∴
=
，∴
=
=2，
∴GH∥AF，（3分）
∵GH⊆平面BDGAF不在平面BDG，
∴AF∥平面BDG．（5分）
（2）解：如图建立空间坐标系D-xyz，
由题意知B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(1，2，
)，
∴
=
=(
，-
，
)，
∴
=
+
=(0，4，0)+(
，-
，
)=(
，
，
)
=(2，2，0)，（8分）
设平面BDG的法向量为
=(x，y，1)
∵
，∴
=(
，-
，1)，（10分）
设平面BDC的法向量为
，由题意知
=(0，0，1)，
∴cos＜
，
＞=
=
=
，
∴二面角C-BD-G的余弦值为
．（12分）
∵
| AB |
| CD |
| 1 |
| 2 |
| AH |
| CH |
| 1 |
| 2 |
∴
| CH |
| AC |
| 2 |
| 3 |
| CH |
| AH |
| CG |
| GF |
∴GH∥AF，（3分）
∵GH⊆平面BDGAF不在平面BDG，
∴AF∥平面BDG．（5分）
（2）解：如图建立空间坐标系D-xyz，
由题意知B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(1，2，| 3 |
∴
| CG |
| 2 |
| 3 |
| CF |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴
| DG |
| DC |
| CG |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| DB |
设平面BDG的法向量为
| n1 |
∵
|
| n1 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
设平面BDC的法向量为
| n2 |
| n2 |
∴cos＜
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| 1 | ||||
|
| ||
| 5 |
∴二面角C-BD-G的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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