Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n（n∈N^*），且a₂，a₄的等差中项为10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2log₂a_n，求

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的条件，可得数列是等比数列，利用的等比数列的通项公式即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=2log₂a_n，利用裂项法即可

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

取值范围．

解答： 解：（1）由a_n+1=2a_n（n∈N^*），得{a_n}为等比数列且公比q=2，
设首项为a₁，
∵a₂，a₄的等差中项为10，
∴a₂+a₄=2×10=20．
即a₁q+a₁q³=20，解得a₁=2，
故a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=2log₂a_n=2n，
得到：

1

bnbn+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

4

[（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

）∈[

1

8

，

1

4

）．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键，考查学生的运算能力．