Question

数列{a_n}各项均不为0，前n项和为S_n，b_n=a_n³，b_n的前n项和为T_n，且T_n=S_n²
（1）若数列{a_n}共3项，求所有满足要求的数列；
（2）求证：a_n=n（n∈N^*）是满足已知条件的一个数列；
（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a_n}，并使得a₂₀₁₅=-2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：压轴题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，分n=1、2、3，三类讨论，可得所有满足要求的数列；
（2）利用数学归纳法证明即可；
（3）由Sn2=a13+a23+…+an3①，Sn+12=a13+a23+…+an3+an+13②，联立①②，可整理得到：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，于是，可求得一个满足已知条件的无穷数列{a_n}，并使得a₂₀₁₅=-2014；再购造其他符合要求的数列四个即可．

解答： （本题（18分），第一小题（4分），第二小题（6分），第三小题8分）
解：（1）n=1时，T₁=S₁²⇒a₁³=a₁²⇒a₁=1（a₁=0舍去）…（1分）
n=2时，T₂=S₂²⇒a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²⇒1+a₂³=（1+a₂）²⇒a₂=2或a₂=-1（a₂=0舍去）…（2分）
n=3时，T3=

S

2 3

⇒

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

=(a1+a2+a3)2，
当a₂=2时，1+8+

a

3 3

=(1+2+a3)2⇒a₃=3或a₃=-2（a₃=0舍去）
当a₂=-1时，1-1+

a

3 3

=(1-1+a3)2⇒a3=1(a3=0舍去)…（3分）
所以符合要求的数列有：1，2，3；1，2，-2；1，-1，1…（4分）
（2）∵a_n=n，即证1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，…（5分）
用数学归纳法证：
当n=1时，1³=1²，等式成立；
假设当n=k时，1³+2³+3³+…+k³=（1+2+3+…+k）²=[

k(k+1)

2

]2，…（7分）

则当n=k+1时，1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=（1+2+3+…+k）²+（k+1）³
=[

k(k+1)

2

]2+（k+1）³=（

k+1

2

）²（k²+4k+4）
=[

(k+1)(k+2)

2

]2=[

(k+1)((k+1)+1)

2

]2，即当n=k+1时，等式也成立；
综上所述，对任意n∈N^*，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²；…（10分）
（3）Sn2=a13+a23+…+an3①
Sn+12=a13+a23+…+an3+an+13②
②-①得：2S_n+a_n+1=an+12，
∴2S_n=an+12-a_n+1；③…（11分）
∴当n≥2时，2S_n-1=an2-a_n，④…（12分）
③-④得：2a_n=an+12-a_n+1-an2+a_n，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∴a_n+1=-a_n，或a_n+1=a_n+1（n≥2）…（14分）
（i）a_n=

n(n≤2014，n∈N*) 2014•(-1)n(n≥2015，n∈N*)

；
（ii）a_n=

n(n≤2014，n∈N*) n-4029(2015≤n≤4028，n∈N*) n-4028(n≥4029，n∈N*)

；
（iii）a_n=

n(n≤2014，n∈N*) -2014(n=2015，n∈N*) n-2(n≥2016，n∈N*)

；
（v）a_n=

n(n≤2014，n∈N*) -2014(n=2015，n∈N*) 2014(n=2016) -2014(n=2017) n-4(n≥2018，n∈N*)

点评：本题考查数列的求和，考查数学归纳法的应用，突出考查构造函数数学、化归思想及创新思维、逻辑思维、综合运算能力，属于难题．