Question

已知P为△ABC内一点，

PA

+2

PB

+3

PC

=

0

，则S_△PAB：S_△PBC：S_△PAC=

 

．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：分别延长 PB、PC 至 B₁、C₁，使 PB₁=2PB，PC₁=3PC，可得P是三角形AB₁C₁ 的重心，三角形AB₁C₁的面积为3S，可用S表示S_△PAB，S_△PBC，S_△PAC，可得答案．

解答： 解：（如图）分别延长 PB、PC 至 B₁、C₁，使 PB₁=2PB，PC₁=3PC，

则由已知可得：

PA

+

PB1

+

PC1

=

0

，
故点P是三角形 AB₁C₁ 的重心，
设三角形AB₁C₁的面积为3S，则S_△APC1=S_△APB1=S_△PB1C1=S，
而S_△PAC=

1

3

S_△APC1=

1

3

S，
S_△PAB=

1

2

S_△APB1=

1

2

S，
S_△PBC=

1

3

×

1

2

×S_△PB1C1=

1

6

S，
S_△PAB：S_△PBC：S_△PAC=

1

2

S：

1

6

S：

1

3

S=3：1：2，
故答案为：3：1：2

点评：本题考查向量式的几何意义，作辅助线得出点P是三角形 AB₁C₁ 的重心是解决问题的关键，属中档题．